上学的时候，我们都知道中国的海岸线长达18000多公里。这个长度是用1公里长的尺子测量的。但如果用更短的比例尺，比如一厘米长的比例尺，测得的海岸线长度是381.2万公里，是地理书上给定长度的212倍。为什么？
原因是由于港湾角的存在，海岸线比较曲折，用大尺子量的话会忽略很多其曲率的细节。海岸线的长度与测量单位有关。如果海岸线以1公里为单位，则小于1公里的迁徙蜿蜒长度将被忽略。如果以1m来衡量，可以检测到被忽略的迁徙曲折，长度会变大。如果进一步缩小测量单位，测量的长度会越来越大，这些越来越大的长度会趋近某个值，这个值就是海岸线的长度。
事实上，早在1967年，曼德尔布洛特就提出了“英国的海岸线有多长？”
Mandelbrot发现，当测量单位变小时，获得的长度无限增加。他认为海岸线的长度是不确定的，或者从某种意义上说，上海的海岸线是无限的。这是因为海岸线极其不规则和不平滑。
在自然界，几乎没有什么是温柔的。大部分的东西都是有褶皱的，不规则的，有细圆齿的，通常以一种自相似的形式存在。想想森林、山脉、蔬菜、云和海面。从这个角度来看，大部分自然物体都没有绝对的客观长度。在陈述测量结果时，知道分辨率是多少是非常重要的。
当人们设计制造符合人体工程学的产品时，无论是原始的锅和工具，还是现代复杂的汽车、电脑、摩天大楼。我们都在使用和追求直线、光滑曲线、光滑曲面的简洁。测量的发展和数学的发明，尤其是欧几里德几何的理想化范式，完美地表明了这一点。
在这个人工制品的新世界中，我们不可避免地习惯于通过蒙蔽我们欧几里得几何的过滤器来观察世界。然而，自然界中的大多数图形都是非常复杂和不规则的。例如:海岸线、山形、河流、岩石、树木、森林、云彩、闪电、海浪等。，欧几里得几何无能为力。
科学认为，客观世界是高度复杂的，以褶皱、波纹和小褶皱为主。Mandelbrot简单地概括道:“扁平的形状在野外很少见，但在象牙塔和工厂里却极其重要。”
所以科学家认为“世界本质上是非线性的”。在非线性世界中，随机性和复杂性是其主要特征，但同时，在这些极其复杂的现象背后，又存在着某种规律性。
产生于20世纪70年代的分形理论，使人们能够以新的思路和新的手段来处理这些问题，通过混乱的混沌现象和不规则的形状来揭示隐藏在复杂现象背后的规律、部分和整体之间的本质联系。
分形是一门历史很短的新学科，目前正在发展中。它涵盖的领域很广，但还不够成熟。然而，分形理论具有强大的生命力。80年代后期全球1257种学术期刊发表的论文中，有37.5%与分形有关。从发表的论文来看，涉及的领域有哲学、物理、化学、材料化学、电子技术、表面科学、计算机科学、生物学、医学、农学、天文学、气象学、地质学、地理学、城市规划、地震学、经济学、历史学、人口学、信息科学、商品科学、电影美学、思维、音乐、艺术等等。
一、什么是分形？
1.分形的定义:部分与整体在某种形式上相似的形状称为分形。
所以一般来说，“分形”可以看作是大小碎片的聚集状态，是对没有特征长度的图形、结构和现象的统称。描述分形的几何称为分形几何。分形几何也是目前最前沿的学科。
我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑曲线和曲面，分形几何研究自然界大量的不规则形状。
美籍华人大数学家陈省身认为，几何可以分为以下几个阶段:
第一阶段:公理；
第二阶段:坐标；
第三阶段:微积分；
第四阶段:群体
第五阶段:流形；
第六阶段:纤维束。
第七阶段:分形几何
所以分形几何是21世纪的几何。
2.分形的提出者:曼德尔布罗特。
分形这个术语是由Mandelbrot在1975年首先提出的。它的本义是“不规则的、分数的、碎片化的”物体。Mandelbrot是IBM沃森研究中心自然科学部的高级研究员，哈佛大学应用数学兼职教授，美国国家科学院院士。他曾在哈佛大学教授经济学，在耶鲁大学教授工程学，在爱因斯坦医学院教授生理学。他的研究领域横跨数学、物理、地球科学、经济学、生理学、计算机科学、天文学、信息科学、信息与通信、城市与人口、哲学与艺术等等。他是一个真正的跨学科的博学之士。正是这些不同学科或问题的杂交产生了一种全新的成果——分形理论。他出版的专著《自然的分形几何》代表了分形理论的初步形成。
二、分形的特征
1.自相似性
分形具有“粗糙性和自相似性”的直观特征。系统的自相似性是指从不同的尺度或时间尺度上看，某个结构或过程的特征是相似的，或者某个系统或结构的局部性质或结构与整体是相似的。此外，整体与整体之间或部分与部分之间也会存在自相似性。总的来说，自相似有一个复杂的表达，而不是简单的局部放大一定次数后与整体完全重叠。如菜花、树叶等。
在观察和研究自然的过程中，人们认识到自相似可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料学、经济学、社会科学等许多科学中，是自然界的普遍规律之一。这里有几个例子来说明自相似性。
将太阳系的结构与原子的结构相比较，我们会发现两个系统在某些方面有惊人的相似。虽然这两个系统的尺度在性质上如此不同，但它们的物质系统之间存在自相似的性质。
物质系统之间的自相似性也广泛存在于生物界。以人为例，人在一定程度上是类人猿进化的产物。解剖学研究表明，人体内的大脑、神经系统、血管、呼吸系统、消化系统在结构上具有高度的自相似性。
一棵大树由许多树枝和树叶组成。如果把一根树枝与大树相比，它在形式上是完全相似的。还会发现树枝上的小细枝还是有大树的特征。当然，这只能说明一定尺度上的相似，不会无限扩大。此外，枝叶之间存在明显的自相似性。仔细观察叶片的叶脉也可以发现类似的自相似结构。
佛说:一沙一世界，一花一天堂；袖中有干坤，壶中有日月；每一粒尘埃里都有数不清的佛。易经说:“无极生两仪，两仪生四象，四象生八卦。《道德经》认为，道生一命，一命，二命，三命，万物。从今天分形几何的观点来看，古人的思想中就包含了自相似的概念。
2.比例不变性
所谓尺度不变性，是指在分形上放大一个局部区域，然后放大后的图形会显示出原图像的形态特征。所以对于分形来说，无论是放大还是缩小，它的形状、复杂程度、不规则性等特征都不会改变。所以尺度不变性也叫拉伸对称。一般来说，如果用放大镜观察一个分形，无论放大倍数如何变化，看到的情况都是一样的。从观察到的图像，你无法判断所用放大镜的放大倍数。
自相似性与尺度不变性密切相关。自相似性和尺度不变性是分形的两个重要特征。
第三，分形理论的应用
分形理论是一门交叉学科。从振动力到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理学和生物形态学，从材料科学到地球科学和地理科学，从经济学到语言学和社会学等等。，分形图形全部闪现。
美国著名物理学家惠勒说:在未来，谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学素养。它说明了分形理论的巨大科学价值。从哲学、经济等几个维度阐述了分形理论的应用。
1.哲学
整体和部分
分形理论打破了整体与部分的鸿沟，找到了从部分到整体的媒介和桥梁，即整体与部分的相似性。分形理论和系统论从认识事物的方式或思考问题的方式上，分别体现了来自两个端点的思想。它们之间的互补性正好完整全面地体现了辩证思维方法。系统论从整体出发，确立各部分的系统性，从宏观到微观考察整体与部分的相关性。另一方面，分形理论从部分到部分建立整体的性质，从微观到宏观考察部分与整体的相似性。也就是说，系统论强调部分依赖于整体的性质，体现了从整体认识整体的方法，而分形理论强调部分依赖于整体的性质，体现了从部分认识整体的方法。因此，两者的互补性，即系统理论和分形理论相互反映，大大提高了人类认识自然的能力。
分形理论作为一种认识世界的新途径，不仅从整体与部分的信息“同构”中找到了从部分到整体的媒介和桥梁，为人们从部分认识整体、从有限认识无限提供了可能和依据，而且使人们对整体与部分关系的认知方法和思维方法从线性阶梯进步到非线性阶梯，揭示了它们多层次、多视角、多维度的联系。
论生成与合成理论的自然观
自然观与自然科学的发展密切相关。任何关于自然的科学理论，原则上都可以成为建立某种自然观的基础，形成研究纲领。比如，随着物理学的发展，出现了基于牛顿力学的力学世界图景，基于热力学的能量世界图景，基于电磁学和基本相互作用的物理世界图景，随着生物学的发展出现了进化世界图景，随着非平衡热力学的发展出现了自组织世界图景。分形几何作为描述复杂自然形态及其生成机制的有力工具，也为人类构建新的自然图景提供了新的科学依据，形成了新的自然图景。
分形理论对自然观产生了强烈的影响。从分形的角度看世界，我们发现世界是以分形的方式存在和演化的。
在人类探索宇宙起源之初，就有一场关于事物是由起源产生还是由起源构成的争论。生成论认为事物由本源生成，其变化是“产生”、“消亡”或“转化”；构成论认为事物是由它们的本源构成的，它的变化是元素的组合或分离。构成思想源于古希腊的原子论，深深影响了科学家的思维。本构理论认为自然界的一切都归结为基本粒子的结合或分离。这种思考和分析问题的方法推动了科学技术的进步，取得了一系列成果。汽车、电视、电脑等产品给人类生活带来了很多便利和舒适。然而，根据构图理论，很难连续分割一个事物来回答所有问题。所以科学家开始转向生成理论。宇宙的进化，生物的进化，思维的形成，都表现为一个生成的过程，都支持生成论，但由于缺乏理论支撑，不被科学界普遍接受。分形生成过程的迭代为生成性自然观提供了理论基础，分形几何从原理上证明了任何复杂形式的事物都可以通过迭代生成。
2.经济学
因为股票的价格波动非常剧烈，而且完全随机，所以让人感觉几乎没有规律。但是，如果我们从统计学的角度来分析这种变化，就会发现一个很好的规律。Mandelbrot发现了以下两条规则:
(1)单位时间内股价变化的分布遵循特征指数D≈1.7的对称稳定分布。
⑵无论单位时间的大小，其分布都是相似的。也就是说，适当改变尺度也可以达到同样的分布。
所以可以从分形的角度来思考股价的波动。虽然它不能帮助我们预测未来，但它为我们提供了一个分析的维度。
3.其他领域
著名电影《星球大战》就是用分形技术创作的。因为分形最重要的特征是自相似性，所以信息科学家对它情有独钟。分形图像压缩被认为是最有前途的图像压缩技术之一，分形图形被认为是描绘自然景物最有吸引力的方式。
分形音乐是利用分形理论构造一些具有自相似片段的合成音乐，它是由一个算法多次迭代产生的。主题用小调反复循环，节奏上可以加入一些随机的变化。它创造的效果在宏观和微观两个方面都能逼真地模仿真实的音乐。
摘要
分形理论是一门重要的新兴学科，历史不长，但除了数学家和物理学家之外，化学家、生物学家、地貌学家和地震学家、材料科学家等都卷入了分形狂潮。在社会科学和人文科学领域，大量的哲学家、经济学家、金融经济学家甚至作家、画家和电影制作人都蜂拥而至。分形理论是发展中的，它涉及的范围很广但还不够成熟，关于它的争论也很多。但由于它已广泛应用于自然科学和社会科学的几乎所有领域，成为世界上许多学科的前沿研究课题之一。
参考资料:
分形的哲学之旅——林下水
分形理论的科学哲学意义——张
