一致连续性是一个比较难理解的高数概念，那是“老黄学高数”第131讲分享的内容。这篇文章要介绍的是，如何运用实数的完备性定理，证明连续函数在闭区间上的一致连续性定理。
一致连续性，简言之，就是闭区间上的连续函数也一致连续。
老黄要给大家分享两种证法。一致连续性定理：若f在[a,b]上连续，则在[a,b]上一致连续.证法一：由f在[a,b]上的连续性，ε>0，对每一点x∈[a,b]，都存在δx>0，使得当x0∈U时，有|f-f|<ε/2. 【每一个点都符合连续性的定义，即每一个点都有对应的一个邻域半径δx】令H={U|x∈[a,b]}，则H开覆盖[a,b].【把这些邻域的半径缩小一半，组成一个开区间集H，由于它们是由闭区间上的每一个点的邻域构成的，所以闭区间上的每一个点都在H中至少属于一个开区间，从而实现对闭区间的无限开覆盖。至于为什么要把邻域的半径缩小一半，只是为了证明的结果看起来更加完美，其实没有什么实际必要】由有限覆盖定理, 有H’={U|i=1,2,…,k}H, 覆盖[a,b]，【有限覆盖定理：闭区间的无限开覆盖必存在有限开覆盖。
即可以在H中选出有限个开区间，构成H的有限子集H'，实现对闭区间的有限开覆盖】记δ=min {δi/2}>0, 对任何x1,x2∈[a,b]，只要|x2-x1|<δ,【高数的常规操作，取H'的所有开区间的最小半径，则只要闭区间上任意两点的距离小于这个最小半径，那么它们就肯定属于某一个邻域】x1必属于H’的某个开区间U，即|x1-xi|<δi/2, 则有【不过这里并没有直接说它们属于同一邻域，而是先说x1属于某一邻域】|x2-xi|≤|x2-x1|+|x1-xi|<δ+δi/2≤δi/2+δi/2=δi,【然后再利用绝对值的三角不等式，证明x2也属于同一个邻域。
