从科普的角度，可以粗浅的这样理解：就象工厂生产一样，需要很多工序，锯齿波同样需要很多工序才能形成，积分电路就是其中的一个工序。从输入端输入方脉冲，从输出端就得到了我们需要的锯齿波。（当然，这样理解很粗浅）那么积分电路是个什么样子呢？从结构上看，其实很间单，仅一只电容和一只电阻而已。但它们的取值却不那么间单，不象滤波电容越大越好，也不象耦合电容大点小点都可以。它们的取值要针对输入信号的周期做精确的计算，以场扫描为例，频率50hz，周期就是0.02秒，那么积分电容和电阻形成的时间常数，如果大大于0.02秒就成了滤波电路，或者耦合电路。如果远小于0.02秒，也达不到积分的效果。（也不是恰好等于0.02秒，这里我们不做定量分析）
至于为什么叫积分电路，就是整个过程是高等数学微积分的物理模型。
以上是我粗浅的理解，但愿对你有所帮助。
再补充几句：任何数学分支都有它的物理模型，在古代，一筐野果子和一群原始人就是自然数的物理模型，在现代，正弦交流电就是正弦涵数的物理模型，数字电路就是二进制的物理模型。等等。
式中uo(t1)是指开始积分时积分电路输出电压的初始值，不是输入电压！
1式中uo(t1)=0，是已知条件：若t=0时uo=0，已经告诉你了，是第一段时间的积分开始时uo的初始电压；你说的要加上的5V是ui，是输入电压，已在积分公式中考虑进去了。
同样，2式中uo(t1)=-2.5V，是第二段时间的积分开始时uo的初始电压，也就是第一段时间的积分结束时的uo=-2.5V。
式子2中 t1是5ms的地方，uo(t1)=-2.5V是刚开始积分时的输出电压初始值。
