【来源:当代教育家杂志】
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来源:外滩教育
从测试结果来看，中国孩子的数学有好有坏，但学习过程真的很“苦”。这和教学方法有关系。正因如此，一些业内人士经常将英美流行的讨论式教学与中国常见的指导性教学相比较。前者能否解决学习数学的“苦”问题？高级数学老师徐亚指出，在以考试为主要评价方式的情况下，努力学习是必然的。好的教学方法不是二选一，而是两者结合，重在激发数学兴趣，提高逻辑推理能力。
露娜剪辑了詹妮弗。
数学很难学。
不过，从测试结果来看，中国学生似乎表现不错。在2018年的PISA考试中，来自北方江浙一带的学生数学平均分高达591分，位列第一，并超过全球平均分100多分。
但PISA的统计数据显示，江浙北部四地学生每周学习时间约57小时，平均每天超过8小时，远高于其他国家。
可见中国学生的高分与他们的“刻苦学习”有关。看看目前普遍存在的对学习意义的困惑，以及学习数学的压抑心态。在为学生的优异成绩感到骄傲的同时，我们也不禁担忧。
“努力学习”是一种学习方式。学习风格与教学风格相关。经常有业内人士将英美盛行的讨论式教学法与中国盛行的指导性教学法进行对比。人们看到前者在保持学生数学学习兴趣方面似乎有很大的优势。
那么，讨论式教学法是否会成为孩子解决学习数学“苦衷”的一种解决方案？围绕这个问题，我们采访了拥有丰富英美数学教育经验的徐亚老师。
徐娅在北京大学完成了本科学业。她拥有剑桥大学数学教育硕士学位和牛津大学数学教学证书。她持有英国政府和马里兰州颁发的教学执照。2005年起，长期在英美中学担任一线数学老师和教师指导。同时，多次评出大型英美及国际数学考试。
目前，徐亚为教育学专业的大学生教授数学。2022年在马里兰数学教师协会组织的优秀教师评选活动中担任评委。
徐亚
她给出了“讨论式教学法能解决孩子学习数学的‘苦’吗？”在以考试为主要评价方式的条件下，苦是难免的，但不代表以成绩为唯一目标就是对的。讨论式教学和讲座式教学不是两种选择，而是一种合理的组合。
毕竟学数学重在激发孩子对数学的兴趣和热爱，本质在于提高孩子的逻辑推理能力。
当学习内容与心智发展不匹配时，
学数学变成背书。
虽然很多数学老师都提到家长不要给孩子灌输“数学不好是天生的”这种思想，但徐亚认为，我们不应该忽视数学作为一门考验抽象逻辑的学科，本身确实很难。
她从数学内容的特点和教学与认知的关系两个方面回答了这个问题。
1.数学是一门“学得越多，活得越远”的学科。
徐亚认为，虽然数学教学大纲中所列的内容是普通人通过努力可以达到的，但这并不意味着数学是一门与逻辑推理和抽象能力培养相关的学科这一事实可以忽略。所以，“不管各国的数学教学大纲有什么不同，有一点是相同的，就是从小学到高中，数学教学内容经历了从具体到抽象的升级。”
也就是说，“数学的内容会从小学非常贴近生活、实用的算术开始，从常见的形状、简单的统计开始，逐渐上升到高中以抽象推理和证明为主的代数、几何，甚至是向量、微积分、概率等较难的概念。”
所以“数学学习走了一条‘学得越多，离现实生活越远’的路。”而且，她特别提到“中国的数学教学大纲，很多国家都有很深的内容和严格的要求。这也对中国孩子提出了更高的要求。”
将我国2022版《小学义务教育数学课程标准》与其他国家的数学教学大纲进行比较，可以发现一些例子:
新课标在比较数字大小时，要求1-2年级比较万以内的数字大小；加拿大安大略省2020版数学教学大纲直到四年级才要求10000以内的数字。
关于反比例函数的学习，新课标要求7-9年级能画出反比例函数的图像，能用反比例函数解决简单的实际问题；而英国2013版重点阶段3数学教学大纲只要求学生根据给定的反比例函数图像求近似解。
2.学习内容与认知发展水平的冲突是数学难学的根本原因。
徐亚提到，“根据瑞士儿童心理学家皮亚杰的认知发展理论，儿童的认知发展经历了感知阶段、前理性思维阶段、具体理性思维阶段和理性思维阶段四个阶段。”
0 ~ 2岁的孩子主要靠亲身经历学习。“比如，什么是烫伤？当你把手放在火上时，你就会知道什么是烫伤。这个时候，如果你想让孩子通过烫的概念和定义去理解它，那就是对牛弹琴”。
2-7岁的孩子喜欢通过游戏和拟人化的想象来学习。“这个阶段的孩子有两个学习特点:
第一，我不想把注意力放在我不喜欢的事情上。对于一些抽象的东西，他们无法拟人化，无法理解，也不喜欢。然后学起来很矛盾；
第二，容易被大人引导。奖励和惩罚在这个阶段非常有效。比如父母说‘你给我背个公式，我就带你去看电影’，或者老师说‘好孩子都能背那个公式’。然后，即使孩子不明白公式的含义，在家长和老师的鼓励下，大部分都会背出来。
小学生7-11岁。这时逻辑思维开始发展。
一方面，孩子会对东西进行分类，比如会根据颜色摆放衣服；另一方面，开始理解量的概念。说到追赶时间、距离、速度，7岁之前的孩子很难，因为那个时候，他们很难理解什么是速度，只会看谁先到达终点；大多数7-11岁的孩子不仅能理解速度，还能预测谁先到达终点。
但是，抽象思维的发展要到11岁以后。
1-16岁差不多是初中阶段。“这时，儿童的抽象思维开始发展，这种发展过程可以由低到高一直持续到成年。这也是初中数学引入代数等抽象数学概念的原因。但是，皮亚杰提到，并不是每个人的抽象思维都能发展到更高的水平。”
对比这四个阶段，我们不难理解“如果教学内容或教学方法不能匹配学生的认知特点，那么学习数学就会成为一门枯燥而痛苦的学科。"
如果把小学的课堂搞得像个单位会议，那就违背了他们玩游戏的本性。或者让还没有形成抽象思维的小学生提前学习代数。结果，恐怕他们只能靠记忆来满足家长和老师的要求。
“这样做，我们不是在培养孩子的数学能力，而是在训练他们的记忆力。”
讨论式教学注重综合能力，
但它不是万灵药。
既然“数学学习难”根源于学习内容与认知发展水平的不匹配，那么英美数学课堂上的共同讨论式教学就一定比指导性教学好吗？
徐亚认为，讨论式教学和讲座式教学不是可替代的，而是一种合理的结合。孩子需要的永远是适合自己的教育方式。
1.讨论式教学是一种强调过程而非结果的教学方法。
“讨论式教学的起源可以追溯到古希腊苏格拉底的‘助产术’提问教育，即通过不断质疑对方语言中的逻辑漏洞，迫使对方不断反思自己的结论，从而达到准确思考和表达的能力。”这也是批判性思维的起源。
比如学完数字和加法，老师可能会设计这样的讨论:“2+3”和“5条竖线”是一个意思吗？为什么？
徐亚说，“这个问题很简单，每个学生都可以参与，同时，它的答案也是多样的。”
认为“是一个意思”的同学可能会说:如果把竖线看成数字5的一个表达式，2+3的和是5，那么这两个词的意思是一样的。
认为两者不同的同学可能会说:2+3是一个算术表达式，而五竖条是一种计数方法。所以，只有竖线像这样表达“|| +||”时，两者才可能有相同的意思。
认为两者根本不是一个意思的同学可能会说:五条竖线是一个图案，和数字无关。
…学生可以讨论他们的观点。如果你同意或不同意，说出理由。"
“在讨论中，答案并不重要。重要的是，学生将对“等号”的含义、运算表达式、人类计数方法的历史等等有更深刻的理解。重要的是，通过讨论，学生学会多角度思考问题；学会通过互动不断提炼自己的思维；学会用恰当的语言表达自己的观点，同意或不同意对方的观点；学会与人合作。”
总之，讨论式教学是一种过程化的教学，它追求的效果是全方位的。
作为一名教师，徐雅也深有感触，“学生的发言能让她准确了解学生对知识的掌握程度。同时，学生的观点也经常带给她“意想不到的灵感和惊喜。”
她告诉外滩君，“这种讨论互助的习惯是从小养成的。在高中和大学里，学生在课堂内外的讨论和合作，在英美校园里已经成为自然而然的事情。”
也是教师教学评价的重要组成部分。作为评委的徐亚观察到，在刚刚结束的马里兰优秀数学教师评选活动中，所有参赛教师提交的教学样本都进行了课堂讨论。
“目前，最大的问题是没有有效的方法来衡量讨论式教学的结果。也就是说，标准化考试很难测试学生的数感、逻辑抽象和表达能力。也很难检测出一个人的其他重要品质，比如批判性思维能力、创新性思维能力、合作能力等。这些正是讨论式教学所追求的目标。"
2.讨论和指导的合理结合是一种好的教学方法。
当然，徐亚在英美教学多年，深知讨论式教学的风险。
“首先，讨论式教学不能代替讲授式教学。讨论式教学对提高学生运用知识点的熟练程度并不有效。如果熟练度不够，会影响测试的速度甚至准确性。"
指导性教学占据了中国课堂的主流。"它在巩固基础知识和考试中取得高分方面具有优势."除了前面提到的PISA测试结果，BBC制作的一部纪录片《中国老师来了》也可以证明这一点。其中，中国老师教的学生期末考试成绩高于英国老师教的学生。
BBC纪录片《中国老师来了》
徐娅根据自己的教学经验，在去年的教育国际研讨会“中西教育论坛”第二次会议上给出了一个估算:“英美课堂大约25%的时间花在学生的讨论上，加上其他课堂管理的时间，留给老师讲课和练习的课堂时间不到70%。在中国，这个数字可以达到95%。"
这样，如果有三个数学知识相近的学生，一个送到美国深造，一个送到英国深造，一个送到中国深造，一年后，送到美国的学生只有送到中国的学生74%的时间花在应试数学上。派往英国的学生相当于派往中国的学生的78%。
换句话说，一年后，中国学生在课堂上学习数学知识和实践的时间比英国多三个月，在课堂上学习数学知识和实践的时间比美国多四个月。
“另外，英美学生课后练习的时间少，所以对基础知识的掌握不如中国学生。”事实上，“英美学生即使热爱数学，也不一定能达到和中国学生一样的数学水平，即使裸考。”
此外，“一堂好的讨论课，往往需要老师在话题、问题，甚至分组、分工、评价方式等方面花费大量的精力。如果设计不好，往往达不到预期的效果。有时候还有流入‘聊天课堂’的风险，白白浪费宝贵的课堂时间。”
在徐亚看来，“这两种教学方式之间没有对错的问题。孩子需要的是他们之间的合理组合。”
不仅以成绩为学习目标，
可以给孩子“解压”数学。
这里所谓的刻苦学习，是指长期以掌握知识概念和熟练掌握考试技巧为重点的一种学习方法。或者说，是一种“时间投资法”。
一方面，徐亚承认“努力学习的学生，基础知识扎实。标考得高分的概率大。”
“在以考试为主要评价方式，升学竞争压力比较大的情况下，努力学习大概是必然的。因为它们是获得高分的最有效途径。”
但徐亚也指出，“如果用力过猛，从长远来看，以分数为主要目标的教与学的方法，会对孩子的数学学习和发展造成伤害。”
英美学生普遍不努力学习的原因，一方面与文化和社会因素有关，另一方面是升学压力较小。
徐亚菊举了几个有趣的例子。
在课堂上，不会答题或答错题的学生很少受到批评。“面对不会回答问题的同学，我通常的做法是让她/他找一个同学替她/他回答。如果是对的，她/他必须重复回答。如果一个学生犯了错误，这只是给了大家一个讨论的机会。”
课堂是通过纠正各种错误来学习知识的地方。“如果没有错误，那么我们不知道应该在哪里改进。在我的班里，没有人看不上在成绩板上答题或出错的同学。反而大家会感谢他们。正是他们的错误给每个人提供了一个认识和改正错误的机会。”
老师经常通过给学生选择的机会来提高学生的学习兴趣。比如一个问题的作业量，可以给两个问题，让孩子选一个。有了“选择权”，学生的自主意识就会提高。"如果他们仔细考虑这两个问题以便做出选择，那就更好了。"
接受不同的表达方式也是英美教学的一个特点。“我们在批改试卷的时候，老师会在学生写的一大块东西里寻找她/他的想法。例如，如果一个问题的标准答案是1/2，那么写0.5，或50%是正确的。有的甚至画一个圆，遮挡一半，可以是正确的，因为这叫面积模型。这样一来，每个学生都能充分发挥自己的特点，但另一方面，却很少看到东亚学生那种讨好老师的清晰整洁的卷子和规范的文笔。”
在高等教育入学方面，英美大学采用申请制，不把考试成绩作为唯一的录取标准，这样英美学生就不必把全部精力都投入到考试中。英美数学试题，如SAT，GCSE等。，常把相关公式打印在卷首。目的是考察学生的推理应用，而不是要求学生死记硬背这些公式。但在中国考生看来，这是不可思议的。
以上都是英美学生不用那么努力学习的例子。是好是坏，见仁见智。
如果课程大纲、考试政策和要求都超出了家长的控制范围，那么家长还是可以在一定程度上为辛苦的学习“减压”的。
徐亚建议，在生活中多给孩子提供练习数学的机会，增加孩子的数感和对数学的兴趣。
比如小学学加减法的时候，家长可以在购物的时候暂时放下方便的手机支付，让孩子自己算总价，然后再算自己拿的钱要付，找多少钱，让数学真正应用到现实生活中。
学完代数和统计后，让孩子用学过的函数知识和统计知识去估算和预测家里每月或每年的用电量和存款利息。“有了兴趣和能力，学习就会少一些‘苦’。”
另外，家长可以和孩子分享自己学习数学的经验，尤其是失败的经验。让孩子知道，自己遇到的困难，别人也经常遇到，没什么好自卑的。
“家长尤其要分享自己解决问题的经验——如何向老师请教，如何向同学求教，如何利用网络寻找自己需要的知识等等。让孩子有解决困难的信心和方法。”
无论如何，徐亚强调，“在督促孩子努力学习数学的时候，有两个原则必须坚持——一是不损害孩子对数学的兴趣，二是保护孩子的自尊心。”
“需要注意的是，任何一次考试的成绩都只能代表孩子在过去某一时刻的状态。老师和家长要向前看。花园里的每种花都有自己的开放时间表。考试时没有‘开’的花，不代表以后不会开，也不代表不是美丽的花。”
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