这是2022年高考数学理科全国卷A中的一道概率与期望的题。黄一直认为这类问题对炒股和彩票很有启发。它分为两部分。一部分是关于题目本身，是客观的。希望高中生和热爱数学探究的朋友们可以好好看看。另一部分和题目没有直接关系。关于股票交易的幻想是主观的。希望你只是把它当做题目上的强化练习，不要应用到实践中去。
甲校和乙校之间有三场体育比赛，每场比赛，胜者得10分，败者得0分，不分胜负。经过三场比赛，总分最高的学校获得冠军。已知A校在三项赛事中的获胜概率分别为0.5、0.4、0.8，各项赛事的比赛结果相互独立。
求一个学校夺冠的概率；
用X表示B校的总分，求X的分布列表和期望.
分析:一个学校夺冠的必要条件是得分不低于20分。有四种情况，即赢得三场比赛；只输第一项，只输第二项，只输第三项。所以有四个概率，不是同时发生的，也不是连续发生的，最后要加起来。
而且连续赢三场比赛。所以我们要把三个比赛的胜率相乘。如果你只输了一项，你必须把它乘以其他两项获胜的概率，然后再乘以输了这一项的概率。
学校B打X分有四种可能，分别是30分，20分，10分，0分，对应三场全胜，一场只输，一场只赢，三场全输。分别计算四个概率，方法相同，但不完全相同。
求X的分布列表就是做一个表，统计四种得分情况各自的概率。期望值e是分数相对于概率的加权平均值。
解:甲校在三个项目中输的概率分别为0.5，0.6，0.2，这是乙校对应的赢概率.
一个学校夺冠的概率是:0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2 = 0.6。
学校分数X的可能值为:30，20，10，0。
p = 0.5×0.6×0.2 = 0.06；
p = 0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2 = 0.34；
p = 0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2 = 0.44；
p = 0.5×0.4×0.8 = 0.16；
x的分发列表:
所以x的期望是e = 30×0.06+20×0.34+10×0.44+0×0.16 = 13。
以下是一个关于股票的拓展问题:
某股民一直关注A、b两只股票，根据统计得到以下信息:
股价:a股4元/股，b股2元/股。
上涨概率:a股0.3，b股0.8。
预计涨幅:5%，5%。
目前该股东有2万元。如果投资者平均投资，你认为他对收益Y的期望值是多少？
这个问题怎么和上面的问题等价？很明显，两只股票A和B对应两个事件。如果加一只股票，计算量会太大，老黄就删了一只。上涨对应的是输赢关系。a股上涨0.20元/股，下跌0.12元/股；b股每股上涨0.10元，每股下跌0.14元。这就是“得分情况”。
股民的平均投资大大降低了这个问题的难度。如果你反而问“股民应该怎么投资，收获期预计最高”，那就是悲催了。可见这位股民和老黄一样，水平有限，不敢问这种问题，因此赚的钱也少。平均投入，相当于每一局都是决定性的胜利。每只股票都购买了:2500股A股和5000股B股。
现在需要计算的是这个股东在各种概率下的回报。首先，两只股票都上涨，概率为0.3×0.8=0.24，收益为2500×0.20+5000×0.10 = 1000元；如果A上涨，B下跌，那么概率为:0.3×0.2=0.06，收益为2500×0.20-5000×0.14=-200元；如果A下跌，B上涨，那么概率为0.7×0.8=0.56，收益为-2500×0.12+5000×0.10=200元；如果两只股票都跌，概率为0.7×0.2=0.14，收益为-2500×0.12-5000×0.14=-1000元。
可以以分配表的形式列出，但老黄在这里省了，直接算作收获预期。结果是:
e = 1000×0.24-200×0.06+200×0.56-1000×0.14 = 200。
投入2万，赚200。你觉得这个投资收益比还合适吗？老黄的问题设计是否得当？
