定义 中的一个 子空间 是 中的集合 ，具有一下三个性质：
换句话说，子空间对加法和标量乘法运算是 封闭 的。
若 和 是 中的向量， ，证明 是 的子空间。
证明：
若 不等零而 是 的倍数，则 和 仅生成通过原点的直线。所以通过原点的直线同样是子空间。不通过原点的一条直线 不是子空间，因它不包括原点，且 在加法或标量乘法下不是封闭的。
设 属于 ， 的所有线性组合是 的子空间，我们称 为由 生成（或张成）的子空间 。注意 是它本身的子空间。另一个特殊的子空间是仅含零空间的集合，称为 零子空间 。
应用中， 的子空间通常出现在一下两种情况中，它们都与矩阵有关。
矩阵 的 列空间 是 的各列的线性组合的集合，记作 。
若 ，它们各列属于 ，则 和 相同。当 的列生成 时， 等于 。
设 ，确定 是否属于 的列空间。
解： 是否属于 的列空间等同于确定方程 是否有解。把增广矩阵 进行行化简。
～ ～
可知 相容，从而 属于 。
当线性方程组写成 的形式时， 的列空间是所有使方程组有解的向量 的集合。
矩阵 的零空间是齐次方程 的所有解的集合，记为 。当 有 列时， 的解属于 ， 的零空间是 的子集。
定理 12 矩阵 的零空间是 的子空间。等价地， 个未知数的 个齐次线性方程的方程组 的所有解的集合是 的子空间。
因为子空间一般含有无穷多个向量，故子空间的问题最好能够通过研究生成这个子空间的一个小的有限集合来解决，这个集合越小越好。可以证明，最小可能的生成集合必是线性无关的。
中子空间 的一组 基 是 中一个线性无关集，它生成 。
可逆 矩阵的各列构成 的一组基，因为它们线性无关，而且生成 。一个这样的矩阵是 单位矩阵，它的各列用 表示：
。 称为 的 标准基 。
求矩阵 的零空间的基。
解：首先把方程 的解写成参数向量形式：
～
是 的一组基。
求矩阵 的列空间的基。
解：用 表示 的列，容易得到 。 是主元列的组合，这意味着 的任意组合实际上仅是 的组合。
若 是 的任意向量
所有 的主元列构成 的基。
在介绍矩阵的基本子空间之前，需要引入 线性子空间 的概念。
我们称W为线性空间V的 线性子空间 ，如果 ，且W本身也为线性空间。
由于 ，因此W已经拥有线性空间的第3，4，7，8，9，10条性质（具体请见之前的笔记 《线性空间》 ）。因此我们只需要要求W拥有剩下的性质，即 W关于线性运算封闭 。
举个例子，在n维空间中，m个矢量所张成的空间就是一个线性子空间：它们首先包含于这个n维空间，其次这m个矢量所张成的空间关于线性运算封闭：
所以这m个矢量张成的空间是所在n维空间的线性子空间。
下面介绍矩阵的四个基本子空间，以矩阵 为例：
矩阵A的列矢量张成的空间。一般用C(A)表示，它是m维线性空间的子空间：
可以看出，如果 ，那么非齐次线性方程组Ax=b是有解的。
矩阵A的行矢量张成的空间。一般用R(A)表示，它是n维线性空间的子空间：
它同时可以看作是 的列空间：
满足Ax=0这一齐次方程的解构成的空间。由于对任意解x,y都满足：A(ax+by)=aAx+bAy=0，因此解空间对线性运算封闭，满足线性子空间的条件。零空间是一个n维空间的线性子空间，一般记为N(A)：
满足 这一齐次方程的解构成的空间。由于这一齐次方程可以写成 ，因此被叫作左零空间。一般用 表示。它是m维空间的线性子空间：
下面列举一些四个基本子空间的有关性质：
类似地，可以得到：
