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裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。通常用于代数，分数，有时候也用于整数。
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裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。通常用于代数，分数，有时候也用于整数。
- 中文名
- 裂项法
- 别名
- 裂项相消法
- 表达式
- 1/=（1/n）- 等
- 适用领域
- 代数，分数，整数
- 应用学科
- 数学
- 相关数列求法
- 错位相减法，分组求和法
裂项法裂项法求和
裂项法示例
【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
解：an=1/=（1/n）- （裂项）
则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n)-（裂项求和）
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.
解：an=n(n+1)=/3（裂项）
则 Sn=/3（裂项求和）
= /3
【例3】1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(91×94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。
原式=1/3 *=1/3*(1-1/94)=31/94
裂项法小结
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意： 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）
附：数列求和的常用方法：
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)
1、分组法求数列的和：如an=2n+3n
2、错位相减法求和：如an=n·2^n
3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和：如an= n
5、求数列的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当 a1>0,d<0时, 满足{an}的项数m使得Sm取最大值.
(2)当 a1<0,d>0时, 满足{an}的项数m使得Sm取最小值.
7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。
