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表示相空间相邻轨迹的平均指数发散率的数值特征。又称李雅普诺夫特征指数，是用于识别混沌运动若干数值的特征之一。
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表示相空间相邻轨迹的平均指数发散率的数值特征。又称李雅普诺夫特征指数，是用于识别混沌运动若干数值的特征之一。
- 中文名
- 李雅普诺夫指数
- 外文名
- Lyapunov exponent
- 性质
- 科学
- 类别
- 数学、力学
定义
考虑两个系统
设其初始值微小误差为
经过一次迭代后有
其中
第二次迭代得到
········
经过第n次迭代得
可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数|df/dx|在x0处的值决定，它与初始值x0有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行n次迭代：
每次迭代平均分离值为
两个系统如果初始存在微小的差异，随着时间（或迭代次数）产生分离，分离程度常用李雅普诺夫（Lyapunov）指数来度量，它为几何平均值的对数
式中xn为第n次迭代值。令n趋于无穷，得到李雅普诺夫指数的计算公式：
李雅普诺夫指数应用
利用李雅普诺夫指数λ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间（迭代次数）作指数分离：
在一维映射中只有一个λ值，而在多位相空间情况下一般就有多个λ，而且沿着相空间的不同方向，λ值一般也不同。
设ε0为多维相空间中两点的初始距离，经过n次迭代以后两点间的距离为：
式中指数λi可正可负，当其为正时表示沿该方向扩展，为负数时表示沿该方向收缩。在经过一段时间（数次迭代）以后，两个不同李雅普诺夫指数将使相空间中原来的圆演变为椭圆。稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则系统是不稳定的。系统只要有一个正值就会出现混沌运动。判断一个非线性系统是否存在混沌运动时，需要检查它的李雅普诺夫指数λ是否为正值。
在高维相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将更为复杂。人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为超混沌。推广到高维空间后，有指数（λ1，λ2，λ3，···）的值决定的各种类型的吸引子可以归纳为：
（λ1，λ2，λ3，···） | 吸引子的类型 | 维数 |
（-，-，-，···） | 不动点 | D=0 |
（0，-，-，···） | 极限环 | D=1 |
（0，0，-，-，···） | 二维环面 | D=2 |
（0，0，0，-，···） | 三维环面 | D=3 |
（+，0，-，-，···） | 奇怪吸引子（混沌） | D=2~3（非整数） |
（+，+，0，-，···） | 超混沌 | D=高于3的非整数 |
